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Exercícios de equação biquadrada

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

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Pratique exercícios de equações biquadradas com gabarito e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.

Exercício 1

Determine a soma das raízes reais de reto x à potência de 4 menos 2 reto x ao quadrado menos 3 igual a 0.

Resposta: A soma das raízes reais é zero.

Fatoramos o x à potência de 4 como abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado e reescrevemos a equação como:

abre parênteses reto x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado menos 2 reto x ao quadrado menos 3 igual a 0

Fazemos x ao quadrado igual a y e substituímos na equação.

y ao quadrado menos 2 reto y menos 3 igual a 0

Recaímos em uma equação do segundo grau com parâmetros:

a = 1
b = -2
c = -3

O discriminante da equação é:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 2 fecha parênteses ao quadrado menos 4.1. parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito incremento igual a 4 espaço mais espaço 12 incremento igual a 16

As raízes são:

y com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito mais raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 2 mais 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3 y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito menos raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 2 menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 2 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 1

y1 e y2 são as raízes da equação do segundo grau, mas estamos determinando as raízes da equação biquadrada, do 4º grau.

Utilizamos a relação x ao quadrado igual a y para determinar as raízes da equação biquadrada para cada valor de y encontrado.

Para y1 = 3

x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a 3 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 3 x igual a menos raiz quadrada de 3 espaço e espaço x igual a raiz quadrada de 3 são raízes reais.

Para y2 = -1

x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a menos 1 x igual a raiz quadrada de menos 1 fim da raiz

Como não há no conjunto dos números reais uma solução para raiz quadrada de um número negativo, as raízes são complexas.

Assim, a soma das raízes reais é:

espaço menos raiz quadrada de 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 3 espaço igual a 0

Exercício 2

Determine o conjunto solução da equação:

x ao quadrado igual a menos numerador 81 sobre denominador x ao quadrado menos 18 fim da fração

Resposta correta: S igual a abre chaves menos 3 vírgula 3 fecha chaves

Primeiro devemos manipular a equação a fim de posicionar x ao quadrado no mesmo membro da igualdade.

x ao quadrado parêntese esquerdo x ao quadrado menos 18 parêntese direito igual a menos 81

Fazendo a distributiva e passando o 81 para o lado esquerdo:

x à potência de 4 menos 18 x ao quadrado mais 81 igual a 0 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Temos um equação biquadrada, ou seja, duas vezes quadrada. Para resolver, utilizamos uma variável auxiliar, fazendo:

x ao quadrado igual a y espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito

Fatoramos o x à potência de 4 na equação I e o reescrevemos como abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado. Assim, a equação I fica:

abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado menos 18 x ao quadrado mais 81 igual a 0 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Utilizamos o artifício da equação II, substituindo na equação I, x ao quadrado por y.

y ao quadrado menos 18 y mais 81 igual a 0 espaço

Uma vez que temos uma equação do segunda grau, vamos resolvê-la utilizando Bhaskara.

Os parâmetros são:

a = 1
b = -18
c = 81

O delta é:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 18 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.81 incremento igual a 324 espaço menos espaço 324 incremento igual a 0

As duas raízes serão iguais a:

y com 1 subscrito igual a y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 18 parêntese direito espaço mais ou menos raiz quadrada de 0 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9

Uma vez determinadas as raízes y1 e y2, as substituímos na equação II:

x ao quadrado igual a 9 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 9 x igual a 3 espaço e espaço x igual a menos 3

Desta forma, o conjunto solução da equação é:

S igual a abre chaves menos 3 vírgula 3 fecha chaves

Exercício 3

A seguinte equação apresenta quatro raízes irracionais. Determine o conjunto solução da equação:

x à potência de 4 espaço menos espaço 8 x ao quadrado espaço igual a menos 15

Resposta: S igual a chaveta esquerda menos raiz quadrada de 5 vírgula menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço raiz quadrada de 3 vírgula espaço raiz quadrada de 5 chaveta direita

Passando o 15 para o lado esquerdo:

x à potência de 4 espaço menos espaço 8 x ao quadrado espaço mais 15 igual a 0

Fatorando x à potência de 4 como abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado:

abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado menos espaço 8 x ao quadrado mais 15 igual a 0

Fazendo x ao quadrado igual a y e substituindo na equação:

y ao quadrado menos espaço 8 y mais 15 igual a 0

Na equação polinomial do segundo grau de variável y, os parâmetros são:

a = 1
b = -8
c = 15

Utilizando Bhaskara para determinar as raízes:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 8 fecha parênteses ao quadrado menos 4.1.15 incremento igual a 64 menos 60 incremento igual a 4

x com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito mais raiz quadrada de 4 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 8 mais 2 sobre denominador 2 fim da fração igual a 10 sobre 2 igual a 5 x com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito menos raiz quadrada de 4 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 8 menos 2 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3

A equação que estamos resolvendo é a biquadrada, de variável y, por isto temos que voltar com os valores para y.

Substituindo na relação x ao quadrado igual a y:

Para a raiz x1=5
y igual a x ao quadrado 5 igual a x ao quadrado x igual a mais ou menos raiz quadrada de 5 x igual a raiz quadrada de 5 espaço e espaço x igual a menos raiz quadrada de 5

Para a raiz x2 = 3
y igual a x ao quadrado 3 igual a x ao quadrado x igual a mais ou menos raiz quadrada de 3 x igual a raiz quadrada de 3 espaço e espaço x igual a menos raiz quadrada de 3

Desta forma, o conjunto solução é: S igual a chaveta esquerda menos raiz quadrada de 5 vírgula menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço raiz quadrada de 3 vírgula espaço raiz quadrada de 5 chaveta direita.

Exercício 4

Determine o produto das raízes reais de x à potência de 4 mais 2 x ao quadrado – 24 igual a 0.

Resposta: o produto das raízes reais da equação é -4.

Fatorando x à potência de 4 para abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado e reescrevendo a equação biquadrática:

abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado mais 2 x ao quadrado – 24 igual a 0

Fazendo x ao quadrado igual a y e substituindo na equação, temos uma equação do segundo grau de parâmetros:

y ao quadrado mais 2 y – 24 igual a 0

a = 1
b = 2
c = -24

O delta é:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 2 ao quadrado menos 4.1. menos 24 incremento igual a 4 mais 96 incremento igual a 100

As raízes são:

y com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos 2 mais raiz quadrada de 100 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 2 espaço mais espaço 10 sobre denominador 2 fim da fração igual a 8 sobre 2 igual a 4 y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos 2 menos raiz quadrada de 100 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 2 espaço menos espaço 10 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 6

A equação biquadrática está na variável x, portanto devemos voltar através da relação x ao quadrado igual a y.

Para y1 = 4

x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a 4 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 4 x igual a 2 espaço e espaço x igual a menos 2

Para y2 = -6

x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a menos 6 x igual a raiz quadrada de menos 6 fim da raiz

Como não há solução real para a raiz quadrada de um número negativo, as raízes serão complexas.

O produto das raízes reais será:

2 espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço igual a espaço menos 4

Exercício 5

Determine as raízes da equação: 9 x parêntese esquerdo x ao cubo menos 10 x parêntese direito espaço igual a espaço menos 81.

Resposta: As raízes da equação são: -3, -1, 1 e 3.

Fazendo a distributiva e trazendo o -81 para o lado esquerdo:

9 x parêntese esquerdo x ao cubo menos 10 x parêntese direito espaço igual a espaço menos 81 9 x à potência de 4 menos 90 x ao quadrado mais 81 igual a 0

Para simplificar, podemos dividir ambos os lados por 9:

numerador 9 x à potência de 4 sobre denominador 9 fim da fração menos numerador 90 x ao quadrado sobre denominador 9 fim da fração mais 81 sobre 9 igual a 0 sobre 9 x à potência de 4 menos 10 x ao quadrado mais 9 igual a 0

Como obtemos uma equação biquadrada, vamos reduzí-la a uma equação do segundo grau, fazendo x ao quadrado igual a y.

A equação fica:

y ao quadrado menos 10 y espaço mais espaço 9 espaço igual a 0

Os parâmetros são:

a = 1
b = -10
c = 9

O delta será:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.9 incremento igual a 100 espaço menos espaço 36 incremento igual a 64

As raízes são:

y com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito mais raiz quadrada de 64 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 10 mais 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9 y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito menos raiz quadrada de 64 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 10 menos 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2 sobre 2 igual a 1

Voltando para x, fazemos:

x ao quadrado igual a y

Para a raiz y1 = 9
x ao quadrado igual a 9 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 9 x igual a 3 espaço e espaço x igual a menos 3

Para a raiz y2 = 1

x ao quadrado igual a 1 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 1 x igual a 1 espaço e espaço x igual a menos 1

Logo, as raízes da equação são: -3, -1, 1 e 3.

Exercício 6

(SEDUC-RJ 2015) Seja S o conjunto solução da inequação espaço x à potência de 4 espaço – espaço 20 x ao quadrado espaço mais espaço 64 espaço menor ou igual a espaço 0 para x pertencente ao conjunto dos números reais. A quantidade total de números inteiros que pertencem ao conjunto S é igual a

a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8

Resposta correta: d) 6

Fatorando o x à potência de 4 para abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado e reescrevendo a inequação:

espaço abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado – espaço 20 x ao quadrado espaço mais espaço 64 espaço menor ou igual a espaço 0

Fazendo x ao quadrado igual a y e substituindo na inequação anterior:

y ao quadrado – espaço 20 y espaço mais espaço 64 espaço menor ou igual a espaço 0

Resolvendo a inequação de parâmetros:

a = 1
b = -20
c = 64

Calculando o delta:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 20 fecha parênteses ao quadrado menos 4.1.64 incremento igual a 400 espaço menos espaço 256 incremento igual a 144

As raízes serão:

y com 1 subscrito igual a numerador menos b espaço mais espaço raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 20 parêntese direito espaço mais espaço raiz quadrada de 144 sobre denominador 2 espaço. espaço 1 fim da fração igual a numerador 20 espaço mais espaço 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a 32 sobre 2 igual a 16 y com 2 subscrito igual a numerador menos b espaço menos espaço raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 20 parêntese direito espaço menos espaço raiz quadrada de 144 sobre denominador 2 espaço. espaço 1 fim da fração igual a numerador 20 espaço menos espaço 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a 8 sobre 2 igual a 4

Substituindo as raízes y1 e y2 na relação entre x e y:

x ao quadrado igual a y

Para a raiz y1 = 16

x ao quadrado igual a 16 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 16 x igual a 4 espaço e espaço x igual a menos 4

Para a raiz y2 = 4

x ao quadrado igual a 4 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 4 x igual a 2 espaço e espaço x igual a menos 2

Analisando os intervalos que satisfazem a condição : x à potência de 4 espaço – espaço 20 x ao quadrado espaço mais espaço 64 espaço menor ou igual a espaço 0

[ -4 ; -2 ] e [2 ; 4]

Logo, considerando apenas os inteiros que compõem os intervalos:

-4, -3, -2 e 2, 3, 4

Seis números inteiros satisfazem a inequação.

Exercício 7

(ETAM 2015) A solução da equação 2 y à potência de 4 espaço menos espaço 8 y ao quadrado espaço mais espaço 6 espaço igual a espaço 0 é:

a) S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 3 fecha chaves

b) S igual a abre chaves menos 3 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço 3 fecha chaves

c) S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço menos raiz quadrada de 2 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 2 fecha chaves

d) S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 2 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 2 fecha chaves

Resposta correta: a) S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 3 fecha chaves.

Fatorando y à potência de 4 para abre parênteses y ao quadrado fecha parênteses ao quadrado e reescrevendo a equação:

2 abre parênteses y ao quadrado fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço 8 y ao quadrado espaço mais espaço 6 espaço igual a espaço 0

Fazendo x igual a y ao quadrado e substituindo na equação acima:

2 x ao quadrado espaço menos espaço 8 x espaço mais espaço 6 espaço igual a espaço 0

Recaímos em uma equação do segundo grau de parâmetros:

a = 2
b = -8
c = 6

Calculando o delta:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 8 fecha parênteses ao quadrado menos 4.2.6 incremento igual a 64 espaço menos espaço 48 incremento igual a 16

A raízes são:

x com 1 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito mais raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.2 fim da fração igual a numerador 8 mais 4 sobre denominador 4 fim da fração igual a 12 sobre 4 igual a 3 x com 2 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito menos raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.2 fim da fração igual a numerador 8 menos 4 sobre denominador 4 fim da fração igual a 4 sobre 4 igual a 1

Substituindo as raízes da equação do segundo grau x1 e x2 na equação que relaciona x e y:

y ao quadrado igual a x

Para x = 3, temos:

y ao quadrado igual a 3 y igual a mais ou menos raiz quadrada de 3 y igual a raiz quadrada de 3 espaço e espaço menos raiz quadrada de 3

Para x = 1, temos:

y ao quadrado igual a 1 y igual a mais ou menos raiz quadrada de 1 y igual a 1 espaço e espaço menos 1

Logo, o conjunto solução é:

S igual a abre chaves menos raiz quadrada de 3 vírgula espaço menos 1 vírgula espaço 1 vírgula espaço raiz quadrada de 3 fecha chaves

Exercício 8

.(Unirio-RJ) O produto das raízes positivas de x à potência de 4 espaço menos espaço 11 x ao quadrado espaço mais espaço 18 espaço igual a espaço 0 vale:

a parêntese direito espaço 2 raiz quadrada de espaço 3 espaço fim da raiz b parêntese direito espaço 3 raiz quadrada de espaço 2 fim da raiz espaço c parêntese direito espaço 4 espaço raiz quadrada de 2 espaço fim da raiz d parêntese direito espaço 5 raiz quadrada de espaço 3 fim da raiz

Resposta correta: b parêntese direito espaço 3 raiz quadrada de espaço 2 fim da raiz espaço.

Fatorando x à potência de 4 igual a abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado e reescrevendo a equação:

abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço 11 x ao quadrado espaço mais espaço 18 espaço igual a espaço 0

Fazendo x ao quadrado igual a y e reescrevendo a equação:

y ao quadrado menos 11 y espaço mais espaço 18 espaço igual a espaço 0

Na equação do segundo grau os parâmetros são;

a= 1
b= -11
c = 18

O delta é:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 11 fecha parênteses ao quadrado menos 4 espaço.1 espaço.18 incremento igual a 121 espaço menos espaço 72 incremento igual a 49

y com 1 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 11 parêntese direito mais raiz quadrada de 49 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 11 mais 7 sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9 y com 2 subscrito igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 11 parêntese direito menos raiz quadrada de 49 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 11 menos 7 sobre denominador 2 fim da fração igual a 4 sobre 2 igual a 2

Agora devemos substituir os valores das raízes da equação do segundo grau y1 e y2 na relação x ao quadrado igual a y.

Para y1 = 9
x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a 9 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 9 x igual a 3 espaço e espaço x igual a menos 3

Para y2 = 2

x ao quadrado igual a y x ao quadrado igual a 2 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 2 x igual a raiz quadrada de 2 espaço e espaço x igual a menos raiz quadrada de 2

Desta forma, o produto das raízes positivas será:

3 espaço sinal de multiplicação espaço raiz quadrada de 2 igual a 3 raiz quadrada de 2

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.
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